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Planilha e conhecimentos matemáticos

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Matemática como uma criança // Matemática como adulto

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Conhecimento matemático

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Computação e Teoremas da Matemática

Talvez por influência de um doutorando em matemática, que está trabalhando com provador de teoremas computacionais, achei interessante o texto abaixo:

Há uma infecção de software na matemática pura. Alguns dos intelectuais peso-pesados do campo, renomados por sua autoconfiança, estão começando a se voltar para software para ajudá-los a entender e verificar provas.

Kevin Buzzard, um teórico dos números e professor de matemática pura do Imperial College London, acredita que agora é a hora de criar uma área na matemática dedicada a provas computadorizadas. As maiores provas para teoremas se tornaram tão complexas que praticamente nenhum humano na Terra pode entender todos os seus detalhes, quanto mais verificá-las. Ele teme que muitas provas consideradas verdade estão erradas. É preciso ajuda de fora.

O que é uma prova? Uma prova é uma demonstração da verdade num teorema. Ao provar tais teoremas, e ao aprender novas técnicas para esse processo, as pessoas evoluem o conhecimento de matemática, que depois é filtrado em outros campos.

Para criar uma prova, comece com algumas definições, ou axiomas. Por exemplo, defina um conjunto de números como números inteiros, todos os números de negativo infinito para positivo infinito. Escreva esse conjunto como: … , -2, -1, 0, 1, 2, … Em seguida, exponha um teorema, por exemplo, que não há um número inteiro maior. A prova então consiste no raciocínio lógico que mostra que o teorema é verdadeiro ou falso - neste caso, verdadeiro. Os passos lógicos na prova dependem de outras verdades anteriores, que já foram aceitas e provadas. Por exemplo, que o número 1 é menor que 2.


Novas provas de matemáticos profissionais tendem a depender de toda uma gama de resultados anteriores que já foram publicados e entendidos. Mas Buzzard diz que há muitos casos onde essas provas anteriores usadas para construir novas provas são claramente não entendidas. Por exemplo, há artigos notáveis que citam abertamente trabalhos que não foram publicados. Isso preocupa Buzzard.

“Agora estou preocupado pensando que toda a matemática publicada está errada, porque os matemáticos não estão conferindo os detalhes, e já vi eles errarem antes”, contou Buzzard ao Motherboard enquanto participava da décima conferência Interactive Theorem Proving em Portland, Oregon, onde ele deu uma palestra.

“Acho que há uma chance acima de zero de que alguns dos nossos castelos tenham sido construídos na areia”, Buzzard escreveu numa apresentação de slides. “Mas acho que é pequena.”


Novas teorias matemáticas deveriam ser provadas do zero. Cada passo precisa ser conferido, ou pelo menos esse é o raciocínio. Por outro lado, há especialistas sêniores e mais antigos da comunidade de matemática que fornecem um guia de testemunho confiável para o que é verdade e o que não é. Se um desses matemáticos mais velhos cita um artigo e o usa em seu trabalho, então o artigo provavelmente não precisaria ser conferido, segundo esse pensamento.

Buzzard aponta que essa matemática moderna se tornou dependente demais dos antigos porque os resultados se tornaram muito complexos. Uma nova prova pode citar outros 20 artigos, e só um desses 20 pode envolver mil páginas de raciocínio denso. Se um matemático respeitado cita o artigo de mil páginas, ou constrói sua teoria sobre ele, então muitos outros matemáticos podem supor que esse artigo de mil páginas (e a nova prova) é verdadeiro e não vão se dar ao trabalho de conferi-lo. Mas matemática deveria ser universalmente provável, não dependente de um punhado de especialistas.

Essa dependência excessiva dos matemáticos antigos leva a uma fragilidade na compreensão da verdade. Uma prova do Último Teorema de Fermat, proposto em 1637 e que já foi considerado pelo Guinness o “problema matemático mais difícil” do mundo, foi publicada nos anos 1990. Buzzard propõe que ninguém realmente a entende completamente, ou sabe se a prova é mesmo verdade.

“Acredito que nenhum humano, vivo ou morto, conhece todos os detalhes da prova do Último Teorema de Fermat. Mas a comunidade aceita a prova mesmo assim”, Buzzard escreveu em sua apresentação. Porque “os matemáticos antigos decretaram que a prova está certa”.

Alguns anos atrás, Buzzard assistiu palestras dos matemáticos sêniores Thomas Hales e Vladimir Voevodsky, que o apresentaram a um software de verificação de provas que estava se tornando muito bom. Com esse software, as provas podiam ser verificadas sistematicamente por um computador, as tirando das mãos dos matemáticos antigos e democratizando o status da verdade.

Quando Buzzard começou a usar o software de verificação de provas chamado Lean, ele ficou viciado. Não só o software permitia que ele verificasse provas além de qualquer dúvida, ele também o ajudava a pensar sobre matemática de um jeito claro e inconfundível.

“Percebi que computadores só aceitam inputs numa forma muito precisa, que é o meu jeito favorito de pensar em matemática”, disse Buzzard. “Me apaixonei pelo software, porque foi como encontrar uma alma gêmea. Descobri algo que pensava em matemática do mesmo jeito que eu.”

Para verificar sua prova, um usuário do Lean tem que formalizar a prova, ou a converter da linguagem humana para símbolos da linguagem de programação do Lean. O usuário também precisa formalizar quaisquer definições e provas subsidiárias de que o novo trabalho depende. E mesmo que esse processo de conversão seja trabalhoso, o Lean parece capaz de lidar com qualquer matemática que Buzzard joga nele, o que o distingue de outros programas assistentes de provas.

O Lean tem atraído interesse de uma comunidade crescente de matemáticos, particularmente na área de ensino. Jeremy Avigad é um professor da Universidade Carnegie Mellon especializado em teoria da prova. Tanto Avigad como Buzzard começaram a usar o Lean em aulas universitárias introdutórias de prova. O software verifica a veracidade de cada linha de uma prova e dá um feedback, o que é útil para os estudantes.

Apesar de Avigad estar empolgado com a comunidade que se interessou pelo Lean, ele alerta que a tecnologia ainda precisa de melhorias. Assistentes de provas exigem muito tempo para usar. “O campo existe há algumas décadas e as coisas estão melhorando, mas ainda não chegamos lá”, afirmou.


Se esses desafios puderem ser superados, Buzzard acredita que o software pode ter efeitos ainda mais amplos além de provas. Por exemplo, o problema da busca. Grandes quantidades de novos trabalhos são publicados todo ano, em grande velocidade, tornando a busca através dessas provas extremamente importante.

Hales e Buzzard apontaram que se todos os resumos de artigos fossem colocados no Lean, então qualquer matemático poderia consultar a base de dados desses resumos por um tema matemático preciso do Lean, e encontrar tudo que é sabido sobre ele. Até certo ponto, os cérebros inescrutáveis dos matemáticos antigos poderiam ser virados do avesso.

Cientistas da computação poderiam usar uma base de dados para treinar inteligências artificiais. Como os resultados dessa base de dados seriam definidos pela linguagem precisa do Lean, seria muito mais fácil para um programa aprender do que de resultados comparados escritos em inglês idiossincrático.

No final das contas, cientistas da computação poderia criar um provador geral de teoremas automatizado, um sistema de software que pode criar suas próprias provas e fazer sua própria matemática. Provadores automatizados dependem da mesma tecnologia do Lean para determinar se uma prova é verdadeira. O aumento da adoção do Lean pode se tornar um passo formativo importante para uma matemática automatizada no geral.

O Helix Center de Manhattan vai fazer uma mesa redonda de discussão sobre automação da matemática em 5 de outubro, transmitida ao vivo no YouTube e no site deles. Michael Harris, professor de matemática da Universidade de Columbia e colega de Buzzard, vai participar do fórum.

Harris teme que cientistas da computação e empresas de tecnologia que querem automatizar a matemática não compartilhem as mesmas motivações que os matemáticos. Cientistas da computação, por exemplo, querem usar a tecnologia por trás do Lean para se certificar de que programas não tenham bugs. Empresas querem lucro. Matemáticos como Buzzard só querem fazer matemática.

“Uma coisa que posso prever é que se pessoas realmente inteligentes como Thomas Hales e Buzzard continuarem a pensar nessa linha, então algo interessante vai sair disso; pode não ser uma IA, mas podem ser novos ramos da matemática ou novas maneiras de pensar”, imagina Harris.

Calculadora é a culpada

Em um erro constrangedor, que sem dúvida será jocosamente lembrado por professores de matemática de todos os lugares, um juiz de Oklahoma reconheceu um equívoco de três casas decimais – confundindo milhares com milhões – quando calculou o valor que a Johnson & Johnson deveria pagar por sua responsabilidade na crise dos opioides (substância geralmente usada em remédios para dor) no Estado.

Como resultado, o juiz Thad Balkman anunciou sexta-feira uma nova multa, reduzida em cerca de US$ 107 milhões. O total agora é de US$ 465 milhões, ante os US$ 572 milhões que ele tinha estabelecido em agosto.

O erro de cálculo ocorreu quando o magistrado estava avaliando os vários custos para o Estado lidar com questões de saúde e segurança decorrentes dos opioides. Em seu pedido de agosto, Balkman estimou em US$ 107.683.000 o preço anual para preparar maternidades de Oklahoma para fazer testes em bebês com opioides em seus sistemas. Mas a quantia, na realidade, era de US$ 107.683.

Ele foi avisado sobre o erro pelos advogados da J&J, cujos contadores fizeram o que os estudantes sempre são instados a fazer: checaram as contas e contaram os zeros. “Vai ser a última vez que uso esta calculadora”, disse Balkman em uma audiência em outubro.

A decisão da sexta-feira pôs fim ao julgamento histórico do verão passado, o primeiro estadual para determinar se as empresas farmacêuticas podem ser responsabilizadas pelo desastre dos opioides.

A sentença lançou luz sobre dois desafios que os demandantes dos casos dos opioides enfrentam: como calcular o custo dos danos causados pelos opioides e como atribuir culpa.

Essas questões estão no centro de milhares de processos em torno dos opioides movidos por cidades, condados e estados de todo o país contra uma gama muito mais ampla de fabricantes de medicamentos, bem como de distribuidores e redes de farmácias.

A multa revisada da J&J, por sua vez, pode sinalizar que as expectativas para pagamentos colossais precisam ser gerenciadas com mais cuidado. Mesmo em agosto, quando Balkman chegou à quantia mais alta, as ações da empresa tiveram bom desempenho, sugerindo que os acionistas consideravam o valor relativamente baixo.(...)

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Como reduzir a diferença de gênero

No livro Lo que importa es el porqué, Uri Gneezy e John List percorrem diversos lugares do mundo tentando descobrir a razão para a existência da desigualdade entre homem e mulher na sociedade. Os autores conhecem desde a sociedade mais matriarcal existente até o extremo oposto, onde predomina, no extremo, o homem. Nestas sociedades, eles fizeram um experimento competitivo nas aldeias da Tanzânia e da Índia - onde predominava os dois extremos citados - para tentar entender a razão da desigualdade. Publicaram também um anúncio oferecendo emprego e descobriram que as mulheres evitam, na sociedade moderna, os anúncios onde a recompensa depende da competição.

As pesquisas realizadas por Gneezy e List levaram os autores a uma conclusão: a desigualdade de gênero poderia ser explicada pelo componente cultural. Se a nossa sociedade se preocupar com a socialização das crianças, e isto inclui a volta das escolas separadas por gênero (!?) (1). Isto parece estranho, mas os dois são pesquisadores respeitados, com ampla experiência em comportamento humano.

Uma pesquisa mais recente, de dois professores da Paris School Economics, usou também uma situação prática, o chamado experimento natural. No caso, a Alemanha. Lippmann e Senik olharam especificamente a matemática. Este é um campo da ciência onde prevalece o homem entre os estudantes e os pesquisadores. Na antiga Alemanha Oriental, o lado comunista, as mulheres tinham uma educação mais igualitária do que na Alemanha Ocidental, o capitalista. Usando esta divisão, os autores descobriram que a diferença entre gênero na matemática é reduzida nas regiões da antida Alemanha comunista. Os autores chegam a uma conclusão parecida com a narrada por Gneezy e List no livro.

Nós mostramos que esta diferença Leste-Oeste é devido a meninas atitudes, confiança e competitividade em matemática, e não a outros fatores (...). Também fornecemos evidências ilustrativas de que a diferença de gênero em matemática é menor nos países europeus que costumavam fazer parte do bloco soviético, em oposição ao resto da Europa. A lição é dupla: (1) uma grande parte da lacuna generalizada de gênero na matemática se deve aos estereótipos sociais; (2) as instituições podem modificar de forma duradoura esses estereótipos.

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Adaptado daqui

Resenha: Amor em tempos modernos

Dois livros com temáticas parecidas, o amor. “A Matemática do Amor” é uma adaptação da palestra TED de Hannah Fry, uma matemática londrina. Em 9 curtos capítulos e quase 140 páginas, o livrinho discute a beleza, a maximização de noitadas, os encontros virtuais, a matemática do sexo, qual o momento de parar (de namorar), como otimizar o casamento e a felicidade. Discutindo esses assuntos, Fry usa teoria dos jogos, a razão áurea na beleza (ela não acredita nisso), o algoritmo de Gale-Shapley, o problema da secretaria, entre outros conceitos. Na discussão quando uma pessoa deve parar e “sossegar o facho”, Fry usa o problema da secretaria para divulgar os famosos 38%. (Para quem não sabe, o melhor critério de escolha de uma secretaria é fazer entrevistas as primeiras candidatas até atingir os 38% das candidatas; a partir daí, a melhor candidata, quando comparada com as anteriores, deve ser escolhida e as entrevistas de emprego se encerram. Existem justificativas para este percentual).

O segundo livro é "Everything I Ever Needed to know about economics I Learned from Online
Dating", de Paul Oyer. Também é um livro curto, com 10 capítulos, onde cada capítulo aborda um assunto sob a ótica dos sites de namoro. Oyer é um economista em busca do seu par e explica alguns conceitos de economia a partir daí. Isto inclui teoria da pesquisa, "conversa fiada", externalidades, sinalização, discriminação, mercados e seleção adversa. A questão da externalidade é discutida sob a forma do efeito Facebook. Aqui Oyer lembra que o Facebook parece com o fato das casas de antigamente terem o telefone (ou fax): eu tenho o telefone para falar com meu amigo e só por isso vale a pena ter um telefone; e quanto mais pessoas possuírem telefone, mais interessante é ter o aparelho. O mesmo acontece com o Facebook: tenho perfil no Facebook para ter notícias dos amigos e dos conhecidos. Mas Oyer mostra que esta lógica é um pouco diferente para os sites de namoro: vou procurar os sites para encontrar novas pessoas.

Vale a pena? - Das duas obras, gostei mais da obra de Fry, talvez por ser mais abrangente. O livro dela também pode ser indicado para aqueles que acham que a matemática não tem nenhuma relação com a realidade. Mas em ambos encontrei exemplos interessantes que estarei usando na minha disciplina na próxima semana. 

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Três memes da internet.

Links

Diego Schwartzman e a força do esforço para superar a baixa estatura no tênis

"P não é igual a NP": um dos problemas insolúvel da matemática foi resolvido?

Revistas da década de 90 sobre computadores com mulheres na capa (ao lado)

A cor favorita do mundo

Dinheiro traz a felicidade

Alan Smith: Por que devemos amar as estatísticas

Você acha que é bom em adivinhar dados estatísticos? Mesmo nos considerando bons em matemática ou não, nossas habilidades de entender e trabalhar com os números são realmente limitadas, diz o especialista em visualização de dados, Alan Smith. Nesta agradável palestra, Smith explora a relação entre o que sabemos e o que achamos que sabemos.

Links

Mulheres sendo espancadas levando palmadas em Comics antigos

Guia para aprender métodos quantitativos (na verdade, indicação de livros na área = Parte I e Parte II)

Robôs: Mais da metade do tráfego da internet 

Seguros, Trump e arredondamento matemático

Vídeo: o efeito Tom Sawyer no mercado acionário

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Por que a Teoria Econômica está errada?

Segundo Ole Peters (pesquisador do London Mathematical Laboratory no Reino Unido e professor do Santa Fe Institute dos EUA) e Murray Gell-Mann, Nobel em Física de 1969 e professor emérito do  Santa Fe Institute dos EUA , os fundamentos da teoria econômica estão errados. O principal pressuposto da teoria econômica é que o ser humano age de maneira a maximizar valores esperados da sua riqueza. Porém, modelar as pessoas como criaturas que estão apenas interessados ​​em acumulação de riqueza deixa de fora muita das coisas que faz a vida valer a pena. Então, por que esse é um dos pilares da ciência econômica?

A modelagem matemática da aleatoriedade começou com problemas sobre jogos de azar e  rapidamente foi transferida para o estudo de problemas econômicos  no século 17. Os pesquisadores da área de Física só começaram a considerar seriamente a modelagem da aleatoriedade pouco antes de meados do século 19 com a criação da estatística mecânica. No entanto, quando os físicos entraram na discussão com problemas mais claramente definidos, a compreensão da comunidade científica deu um grande avanço, pois a matemática desenvolvida no século 17 e 18 era apropriado apenas para a classe muito especial de sistemas ergódicos. O que são sistemas ergódicos?

O termo ergódico é usado para descrever um sistema dinâmico que , em termos gerais , tem o mesmo comportamento em média ao longo do tempo. A teoria econômica utiliza valores esperados, pois  eles refletem o comportamento de longo prazo do sistema. Mas, segundo Peters, isso está errado, pois a economia é um processo estocástico não-ergódico. Por exemplo, na área de Finanças, um simples random walk é um sistema não ergódico. Assim, o uso do conceito de valor esperado é inadequado., pois num sistema não ergódico, médias de longo prazo não convergem ao valor esperado.

Imagine os seguintes problemas: devo apostar dinheiro nesse ou naquele jogo de azar ? Quanto devo pagar por um contrato de seguro ? Qual é o preço justo por uma anuidade vitalícia ? Todos esses problemas envolvem aleatoridade. Para modelar essas questões, a  matemática desenvolvida no século 17 por Nicholas Bernoulli considera mundos paralelos que representam todos os possíveis eventos. Então, para avaliar o valor de algum evento aleatório, tira-se uma média de todos esses mundos paralelo. Atualmente, o formalismo da teoria da decisão (ciência econômica) pra resolução de problemas de jogo de azar é  transformar o dinheiro através de uma função de uitlidade e definir o valor do jogo por meio do valor esperado das mudanças do jogo.

A teoria da utilidade assume o seguinte modelo comportamental :  os indivíduos otimizam mudanças nos valores esperados de sua riqueza. Peters e Gell-Mann  argumentam que este modelo é , a priori, um ponto de partida ruim porque  não reflete o que acontece ao longo do tempo. As funções de utilidade visam capturar caracteríticas psicológicas dos indivíduos, mas têm poder limitado de previsão. Indivíduos maximadores de valor esperado são considerados racionais em economia , mas valores esperados só têm importância em sistemas com propriedades ergódicas.  Em vez de adotar novas técnicas do século 19 e 20 (no caso, a estatística mecânica), a ciência econômica está presa a métodos do século 17.

Os físicos deram uma nova abordagem na modelagem da aleatoriedade. Em vez de olhar para vários mundos paralelos, para avaliar algum evento incerto, pergunte a si mesmo como ele irá afetá-lo em apenas um mundo (ou seja, aquele em que você vive) ao longo do tempo. A primeira abordagem, do século 17, é  utilizada pela teoria econômica tradicional. Enquanto a segunda, criada pelos físicos (denominada paradigma do tempo por Peters), ainda não foi apreciada por completo pelos economistas.

Segundo Peters, nos últimos 350 anos a teoria econômica considerou a aleatoriedade de uma única maneira: levando em conta mundos paralelos. Valores esperados  são médias ao longo de universos paralelos imaginários. Universos paralelos  são um truque matemático - produtos da imaginação - que podem simplificar os cálculos , mas não são reais, pois não pode se comunicar com universos paralelos . Portanto, os resultados de qualquer teoria não pode depender do que acontece em um universo paralelo . A teoria econômica viola este princípio.

No entanto, quando essa perspectiva é alterada para a abordagem de um único mundo,  muitos dos principais problemas em aberto na teoria econômica tem uma solução elegante. Por exemplo, a teoria do equilíbrio geral competitivo não consegue explicar a razão da existência de um grande mercado de seguradoras, mas a nova abordagem proposta por Peters e Gell-Mann apresenta uma excelente solução para essa questão. Outra aplicação é a solução do Paradoxo de São Petersburg , um jogo que consiste no lançamento de uma moeda até aparecer uma cara, em que o número total de caras , n, determina o prêmio a ser pago de um jogador para outro, que equivale a  $ 2^n$ .  O valor esperado do prêmio diverge (cresce exponencialmente), ou seja,  não existe. Enquanto, num único mundo sua riqueza cai exponencialmente. Segundo Peters esse jogo, sugerido por Bernoulli , pode ser visto como a primeira "rebelião" contra o domínio do valor esperado - a média dos mundos paralelos - que foi criada na segunda metade do século 17 .

Assim, Peters e Gell-Mann propoem um modelo dinâmico da riqueza que elimina, em muitos casos, a necessidade  da teoria da utilidade : como um indivíduo otimiza (maximiza) sua riqueza ao longo do tempo, levando em conta mudanças médias temporais. Em outras palavras, eles assumem um movimento browniano (i.e. um processo estocástico multiplicativo ao longo do tempo). Assumem isso, pois há  diferenças nas mudanças nos valores esperados de uma variável num processo estocástico e a média temporal da mudança dessa variável. Ou seja, valor esperado é apenas equivalente a tirar uma média ao longo do tempo, se o processo for ergódico. No entanto, processos de crescimento estocásticos não são ergódicos. Assim, o valor esperado não reflete o que acontece ao longo do tempo. Por exemplo, na imagem abaixo, os autores simulam um movimento browniano. A linha vermelha com inclinação para cima é o valor esperado como uma função do tempo, enquanto a linha vermelha inclinada para baixo é a inclinação da média do tempo. As linhas em azul indicam os quantis em função do tempo. É evidente que o valor esperado não reflete o que acontece ao longo do tempo.

O trabalhos de Ole Peters e seus colaboradores têm grandes implicações para a teoria econômica , ciência atuarial e contabilidade, pois a teoria da utilidade e valor esperado são conceitos básicos em todas essas disciplinas. É importante ressaltar que o autor tem grande dificuldade em publicar seu trabalho em periódicos de Economia. A abordagem de Ole Peters e seus colaboradores resolve importantes problemas da teoria de decisão, teoria dos jogos e apreçamento de ativos, utilizando a estatística mecânica. Além disso, mostra as falhas da teoria econômica moderna.

Fontes utilizadas: aqui, aqui, aqui, aqui, aqui ,aqui, aqui e aqui

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