Paradoxo da Megasena

Paradoxo da Megasena - Postado por Pedro Correia

Há no mundo da probabilidade um paradoxo aparente: a tendência do retorno a média [1] e a repetição de eventos independentes.

O paradoxo é aparente, pois o retorno a média é uma variável aleatória que possivelmente garantiria que uma determinado valor deveria acontecer após um certo número de repetições.

Essencialmente é o seguinte: Considerando uma moeda não viciada (ou dado, ou o que seja), a chance de sair cara é 1/2 e coroa é 1/2.

Pergunta 1: Qual é a chance de não sair cara em 10 repetições?

Pergunta 2: Dado que não saiu cara em 9 repetições, qual é a chance de sair cara na décima repetição?

Já adiantando, a resposta a pergunta 1 é a mesma de sair somente 10 coroas em 10 repetições. Ou seja (1/2)^10 ou 1 em 1024.

A resposta a pergunta 2 é mais curiosa: 1/2. O fator é que as repetições são independentes. Isto não é simples de ver, mas pode ser obtido da seguinte fórmula:

P(cara na décima tentativa 9 coroas nas tentativas anteriores)=P(cara na décima tentativa e 9 coroas nas tentativas anteriores)/P(9 coroas nas tentativas anteriores) = (1/2*1/512)/(1/512) = 1/2

No caso, a nossa cara tem de ocorrer na décima tentativa e por este motivo não é o mesmo que nas tentativas de Bernoulli, em que a cara pode ocorrer na primeira, segunda, terceira,..., ou décima tentativa. Neste caso temos:

P(1 cara e 9 coroas) = 10*(1/2)^9*1/2 = 10/1024

O fato é que se jogarmos a moeda 9 vezes e sair coroa, a probabilidade de sair cara na décima jogada é exatamente 50%. Note que isto parece contradizer a resposta da pergunta 1.

O que isto serve para cada um de nós? [2]

Digamos que você jogue na Megasena religiosamente a 10 anos o jogo de 1 dezena (chances de ganhar 1 em 50063860). Se você não acertou as seis dezenas ao longo das N apostas, a chance de acerta na aposta N+1 é exatamente 1 em 50063860 (e não 1 em 96154 como se imaginava pelas repetições).

Ou seja: o fato de você ter apostado 10, 20 ou 30 anos religiosamente na Megasena não aumenta em nada a sua chance de ganhar o próximo sorteio.

Texto de Leonardo de Menezes - Professor da UnB. Especialista em Engenharia Elétrica – Eletromagnetismo

[1]- Segundo Peter Berstein foi Francis Galton, em 1875, que descobriu a regressão média, que é denominado também como retorno a média. Assim, ao tomarmos uma decisão baseada na expectativa em que as coisas voltarão ao "normal", estamos empregando a noção de regressão à média. Mais um exemplo aqui.

[2]-O desenvolvimento da teoria das probabilidades se deu a partir da curiosidade dos homens em entender os jogos de azar. A compreensão de alguns desses jogos permitiu que os indivíduos tomassem decisões de modo mais racional, pois foi possível quantificar o risco a ser enfrentado, assim como entender a natureza da tomada de decisões. Além disso,em regra geral : eventos anteriores não afetam probabilidades ou riscos futuros.